第1952章 解题 （1 / 2）

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“求解下列初值问题：?2u/?x?t = 0，u(x,0) = x + Ax2 + e^x， u(0,t) = gt + rt2 + e^t。其中 I, A, g, r 为常数......”

二阶偏微分方程。混合偏导数为零。给定了初始条件和边界条件。常数参数。

数学语言冰冷，精确，不带任何感情色彩。每一个符号他都认识，组合在一起，构成一个标准得不能再标准的数学物理方程初值问题。

可这是什么意思？一个数学题？在他刚刚进行了一场耗尽心血的情感剖白之后，她给了他一道数学题？

这题，他会吗？陆小宁盯着那个“?2u/?x?t”，脑子开始运转。

先对t积分？不对，这是混合偏导，应该先对x积分？还是……

偏微分方程，只学了个是皮毛，自己的专业里，用到的是数理逻辑、线代布代、离散、概率论与数理统计，很难用到这个。

这道题，一定有它的意义。一个只有他们两个人，或许只有她能给出、而他必须解出的意义。

他起身，走到书桌前，拧开台灯，从酒店提供的便签本上撕下一张纸，拿起笔。

试试吧。

他试图集中精神，将注意力投注到那些符号上。

?2u/?x?t = 0。这意味着函数u对x和t的混合二阶偏导为零。一个很特殊的方程。他尝试回想《偏微分方程导论》里的内容。这类方程的解，往往具有某种形式.....

他试着写下：由 ?2u/?x?t = 0，可积分得 ?u/?t = f(t)？ 还是 ?u/?x = g(x)？不对，混合偏导为零，意味着先对x求偏导再对t求偏导，或者反过来，结果为零，这暗示解u(x,t) 可以写成......u(x,t) = F(x) + G(t) ？ 他写下这个形式。

似乎有门。他心跳快了些，在纸上演算。令 F(x) = Ix + Ax2 + e^x - G(0)， 而 F(0) = -G(0）.......

可这对吗？需要验证是否满足原方程.....

错了。哪里错了？他烦躁地抓了抓头发。G(0)抵消了，但e^t在t=0时等于1，这个1是多出来的。他边界条件用错了？

陆小宁又尝试了分离变量法，尝试了特征线法……脑子里那点关于偏微分方程的知识，像一团缠在一起的毛线，越理越乱。

公式、定理、特例在脑海里翻滚，却始终抓不住那根清晰的线头。

时间一分一秒过去，台灯的光晕在稿纸上圈出一小片明亮的区域，区域之外是浓重的黑暗。

窗外，麟州城的夜晚深沉，远处偶尔有重型卡车驶过的沉闷轰鸣。

一个小时过去了，他面前的草稿纸上写满了凌乱的推算，划掉了又写，写了又划掉，那个该死的“1”就像个顽固的幽灵，始终无法从解中消除。挫败感像粘稠的胶水，裹住了他的思绪。

他卡住了。

脑子里那点儿关于偏微分方程的知识，像是蒙了一层雾，隐隐约约看得见轮廓，却抓不住清晰的路径。

尝试了半个多小时，便签纸上写满了凌乱的推导，却始终无法得到一个整洁、统一的解，特别是那些指数项和常数项，像调皮的孩子，总是无法妥帖地安置。

陆小宁放下笔，揉了揉发胀的太阳穴。他盯着纸条上马闯的字迹，那飞扬的笔画，此刻看来仿佛带着某种促狭的、狡黠的笑意。

她到底什么意思？扔给他一道数学题？是考验？是玩笑？还是某种……他无法理解的回应？

不行，得弄明白。

打开随身带来的笔记本电脑。这时候的网络，还不像后来那样无孔不入。

打开浏览器，输入关键词“偏微分方程 混合偏导为零 初值问题”，搜索结果寥寥无几，且多是专业论文摘要，或是英文论坛上零星的讨论，对于此刻心急如焚的他来说，无异于大海捞针。

他试图搜索具体的解题步骤，但网络上的信息要么过于浅显，要么过于艰深，与他手头这道看似标准实则透着古怪的题目，总是对不上号。

需要一个真正懂行的人。

田胖子？算了，不能找他。

郁葱？下午就走了，和宋襄一起去姑苏看新建的长安动力的实验室。

曹鹏！

他几乎立刻拿起手机，翻到曹鹏的号码。指尖悬在拨号键上方，却又停住了。屏幕上的时间显示：00:47。

太晚了。曹鹏说不定已经休息了，万一，其其格......大半夜打电话问数学题？这听起来简直像个恶劣的玩笑，或者他陆小宁疯了。

陆小宁犹豫了一会儿，放下了手机。

算了，明天吧。

他躺回床上，关了灯。

黑暗里，那张纸条上的符号却像萤火虫一样，在他脑子里飘来飘去。?2u/?x?t = 0……u(x,0)……u(0,t)……Ix + Ax2 + e^x……gt + rt2 + e^t……

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陆小宁又起身，在房间里踱步，从床头到窗户，再从窗户到门口。

再躺下，起来，起来，又躺下。

那张纸条被他捏在手里，展开，合上，再展开。

上面的字符像有了生命，在他眼前跳动，组合成马闯那双带着笑意的、亮晶晶的眼睛。

他就这么折腾了一宿。眼皮沉得打架，脑子却异常清醒，像一锅煮沸后又不断被加薪的粥，咕嘟咕嘟冒着焦虑的泡泡。

。。。。。。

第二天一早，曹鹏正站在酒店卫生间的洗手台前，满嘴泡沫地刷牙。薄荷味的泡沫沾了一点在嘴角。镜子里的他睡眼惺忪，头发支棱着。

“砰、砰、砰。”

拍门声响起，不重，但很清晰，带着点急迫。

曹鹏含着牙刷，含糊地应了一声，“谁啊？”趿拉着拖鞋走过去，透过猫眼往外看。

门外站着陆小宁。头发乱得像鸡窝，眼珠子发红，整个人散发着一种熬夜过度兼心事重重的颓靡气息。

曹鹏打开门，嘴里还塞着牙刷，“咋了你这是？”

陆小宁看着他，眼神有点飘，“那什么，方便不？”

“方便。”曹鹏侧身让他进来。

陆小宁跟到洗手间门口，从口袋里掏出那张被蹂躏得更皱的纸条，小心翼翼地展开，递到曹鹏眼前，语气带着压抑的急切，“这个，你会做吗？”

曹鹏斜眼瞟了一下纸条上的内容，刷牙的动作顿了顿。他漱了漱口，用毛巾擦掉嘴边的泡沫，接过纸条，仔细看了看。

“偏微分方程，混合偏导为零的初值问题……边界条件和初始条件给的也很规矩，可，”曹鹏眉头微微扬起，看向陆小宁，觉得这人今天有点不对劲，指了指陆小宁发红的眼睛，““就为这事儿？一大早跑来敲门，准备重温旧梦考我的研？”

“有用。”陆小宁简短地说，眉宇间弥漫着执拗，“你帮我。”

曹鹏又看了他一眼，没再问。拿着纸条走到房间的书桌旁，拿起笔，从便签本上撕下一张纸。他甚至没坐下，就站着，倚着书桌边缘，一边写一边说，

“?2u/?x?t = 0， 这个条件意味着，u 对 x 偏导后再对 t 求导为零，也就是说，?u/?x 与 t 无关，它只是 x 的函数，记作 f(x)。同理，?u/?t 也只是 t 的函数，记作 g(t)。”

笔尖在纸上流畅地移动，写下：?u/?x = f(x), ?u/?t = g(t)。

“那么，原函数 u(x,t) 就可以写成……”曹鹏略一思索，“对，可以写成：u(x,t) = ∫f(x)dx + ∫g(t)dt。但更一般的形式，考虑到积分常数，其实是 u(x,t) = F(x) + G(t).....”

陆小宁紧紧盯着纸面，用力点头。

“好，现在代入初始条件.....再代入边界条件.....”

“所以，”曹鹏的笔尖顿了顿，然后继续，“G(t) = gt + rt2 + e^t - F(0) = gt + rt2 + e^t......”

陆小宁屏住呼吸，看着曹鹏将 F(x) 和 G(t) 的表达式代入。

“看，G(0) 抵消了。”曹鹏用笔尖点了点那两个一正一负的 G(0)，然后划掉它们。

“最终的解是，”曹鹏在式子下面划了一道线，清晰地写出一行字。

将那张便签纸推到陆小宁面前，轻松地说：“就这个。常数项那个 -1 很关键，是匹配两边指数函数在零点取值得到的。你之前是不是卡在这儿了？”

陆小宁没有回答。他的全部注意力，都死死地钉在了那个最终答案上。

u(x,t) = Ix + Ax2 + gt + rt2 + e^x + e^t - 1

他的目光急速地扫过这些符号，大脑以前所未有的速度运转、联想、拼凑。

A, g, r 是常数，暂且不管。x, t 是变量。e^x, e^t 是指数函数。减1是常数。